GAME THEORY (2)

• 만약 어떤 player도 strictly dominant strategy(SDS)가 없다면 어떻게 해야 하는가?
  • Nash Equilibrium
    • P1이 S전략을 가지고 있고 P2가 T전략을 가지고 있다.
    • S가 T의 best response이며 T가 S의 best response라면 이는 Nash Equilibrium이다.
  • 만약 서로의 전략이 best response라면 다른 전략으로 이탈할 가능성이 없으므로 평형 상태라고 할 수 있다.
• 반면, 서로의 best response가 아닌 전략은 왜 평형 상태가 아닌가?
  • 상대가 다른 전략을 쓸 여지가 남아 있기 때문이다.
  • 결론적으로 Nash Equilibrium은 믿음의 평형이라 할 수 있다.

여섯번째 게임: 세 클라이언트 게임

		회사2
		A	B	C
회사1	A	4,4	0,2	0,2
	B	0,0	1,1	0,2
	C	0,0	0,2	1,1

• 두 회사 모두 SDS가 없다.
• 회사1의 best response는 A전략이다.
• 회사2의 best response는 A전략이다. 
• 따라서 (A,A)는 Nash 평형이다.

 

일곱번째 게임: 코디네이션 게임

		같은 팀원
		파워포인트	키노트
당신	파워포인트	1,1	0,0
	키노트	0,0	1,1

• 두개의 Nash 평형이 생긴다. 
  • (파워포인트, 파워포인트)
  • (키노트, 키노트)
• 이때는 Focal point를 고려해야 한다.
• 몇몇 게임에서는 player가 하나의 Nash 평형 선택지를 고르도록 하는 자연스러운 요인이 있다.
• Nash를 확인하기 위해서 서로의 선택이 best인지 확인하는 것이 중요하다.

 

여덟번째 게임: stag hunt 버전의 발표냐 시험이냐

		같은 팀원
		발표	시험
당신	발표	90,90	82,88
	시험	88,82	88,88

• SDS는 없고 Nash가 두개이다.
• 만약 당신이 더 높은 보상을 줄 수 있는 평형 전략을 선택할 것이라면 (발표,발표), 상대가 시험공부하기로 선택했을 수 있다는 리스크를 안고 가야한다.

 

아홉번째 게임: Hawk-Dove 게임

		동물2
		H	D
동물1	H	3,3	1,5
	D	5,1	0,0

• 이 경우는 SDS가 없고 Nash가 있지만 같은 전략이 아닌 경우이다.
• (D,H)와 (H,D)가 Nash 평형 전략이고 이런 경우를 Chicken game이라 한다.
• 한쪽이 이득을 얻게 된다.
• 만약 Nash Equilibrium이 없다면 Mixed Stage를 사용해야 한다.
• 전략을 선택할 가능성을 정한다.
• players가 랜덤하게 행동할 수 있다면 Nash Equilibria는 항상 존재한다.

열번째 게임: 단순한 공격-방어 게임

rule (H,H), (T,T)인 경우 P1이 잃음 (H,T), (T,H)인 경우 P2가 잃음		P2
		H	T
P1	H	-1,+1	+1,-1
	T	+1,-1	-1,+1

• 이렇게 참가자들의 offset을 다 더하면 0이 되는 게임을 zero-sum game이라 한다.
• 어떤 경우에도, 각 플레이어는 자신의 동전을 뒤집고 싶어 할 것이므로 Nash 평형은 있을 수 없다.
• 왜냐하면 Nash는 상대의 전략을 알고 있어도 자신의 전략을 바꿀 여지가 없는 경우를 뜻하기 때문이다.
• 따라서 이 게임에서는 player가 서로의 전략을 예측하기 어렵도록 만들어야 한다. 이때 Mixed Strategies가 사용된다.
• H나 G를 전략으로 선택하는 것이 아닌, H를 선택할 확률과 G를 선택할 확률을 고른다.
• 이제 더이상 전략은 두개가 아니라, 0과 1사이 수의 집합이 된다.
• 즉, option을 mixing한 것과 같은 효과가 있다.
• Nash는 모든 게임에 최소한 하나의 mixed-strategy equilibrium이 있다는 것을 증명했다.
• 또한 한 게임에 pure strategy와 mixed가 둘 다 있을 수 있다.

 

• player2가 S전략을 행할 확률 q에 대한 player1의 payoff 계산
• player1이 S전략을 행할 확률 p에 대한 player2의 payoff 계산